Question

If $ A + B + C = \pi $ , then $ sin \,2 A + sin\, 2B + sin \,2C $ is equal to :

• A. $ 4 \,sin\, A \,sin \,B \,sin\, C $
• B. $ 4 \,cos\, A \,cos \,B \,cos\, C $
• C. $ 2 \,cos\, A \,cos \,B \,cos\, C $
• D. $ 2 \,sin\, A \,sin \,B \,sin\, C $

Answer 1

Answer: (A)

We have, $A +B +C = \pi $ or $B+ C = \pi -A$
$ \Rightarrow sin \left(B+C\right) = sin \left(\pi -A\right)= sin\,A $
$ \therefore sin\, 2\,A + sin \,2\,B +sin \,2\,C$
$ = 2\,sin\, A \,cos\,A + 2\,sin \left(B+C\right)cos\left(B-C\right)$
$= 2 \,sin\,A\left[cos\,A +cos\left(B-C\right)\right]$

$ = 2\,sin\,A \left[ cos\left(B-C\right) -cos\left(B+C\right)\right] $
$= 2\,sin\,A\left[2\,sin\,B\, sin\,C\right] $
$ =4 \,sin\,A \,sin\,B\,sin\,C$