Question

If $A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{bmatrix}$, then :

• A. $A ^{30}- A ^{25}=2 I$
• B. $A ^{30}= A ^{25}$
• C. $A ^{30}+ A ^{25}- A = I$
• D. $A ^{30}+ A ^{25}+ A = I$

Answer 1

Answer: (C)

$A =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{bmatrix}$
$A=\begin{bmatrix} \cos 60^{\circ} & \sin 60^{\circ} \\ -\sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{bmatrix}$
If $A=\begin{bmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix}$ Here $\alpha=\frac{\pi}{3}$
$A^2=\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} \cos 2 \alpha & \sin 2 \alpha \\ -\sin 2 \alpha & \cos 2 \alpha \end{bmatrix}$
$A^{30}=\begin{bmatrix} \cos 30 \alpha & \sin 30 \alpha \\ -\sin 30 \alpha & \cos 30 \alpha \end{bmatrix}$
$A ^{30}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= I$
$A^{25}=\begin{bmatrix}\cos 25 \alpha & \sin 25 \alpha \\ -\sin 25 \alpha & \cos 25 \alpha\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$
$A ^{25}= A$
$A ^{25}- A =0$