Question

$\displaystyle \int \frac{4e^{x}}{2e^{x}-5e^{-x}}dx=$dX is equal to

• A. $4 \,log \left|e^{x}-5\right|+C$
• B. $\frac{1}{4}\,log \left|e^{2x}-5\right|+C$
• C. $ log \left|2e^{x}-5e^{-x}\right|+C$
• D. $ 4 \,log \left|2e^{x}-5\right|+C$
• E. $ log \left|2e^{2x}-5\right|+C$

Answer 1

Answer: (E)

Let $ I =\int \frac{4 e^{x}}{2 e^{x}-5 e^{-x}} d x$
$=\int \frac{4 e^{x}}{2 e^{x}-\frac{5}{e^{x}}} d x $
$=\int \frac{4 e^{2 x}}{2 e^{2 x}-5} d x $
$ \operatorname{Put} 2 e^{2 x} -5=t $
$ \Rightarrow 4 e^{2 x} d x=d t $
$ \therefore I =\int \frac{d t}{t} $
$=\log |t|+C $
$ \Rightarrow I =\log \left|2 e^{2 x}-5\right|+C $