Question

The value of $\sin \left[2Co{s}^{-1}\frac{\sqrt{5}}{3}\right]$is

• A. $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C. $\frac{2\sqrt{5}}{9}$
• D. $\frac{4\sqrt{5}}{9}$

Answer 1

Answer: (D)

We have, $\sin \left[2{\cos }^{-1}\frac{\sqrt{5}}{3}\right]$
$=\sin \left[{\cos }^{-1}\left(2{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2-1\right)\right]$
$\left[\because 2{\cos }^{-1}x={\cos }^{-1}\left(2x^2-1\right)\right]$
$=\sin \left[{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{9}\right)\right]$
$=\sin \left[{\sin }^{-1}\sqrt{1-{\left(\frac{1}{9}\right)}^2}\right]$
$\left[\because {\cos }^{-1}x={\sin }^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)\right]$
$=\sin \left[{\sin }^{-1}\sqrt{\frac{80}{81}}\right]$
$=\frac{\sqrt{80}}{9}$
$=\frac{4\sqrt{5}}{9}$