Question

If $f(x)=\cos (\log x),$ then $f(x)f(y)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\right]$ has the value

• A. $-1$
• B. $\frac{1}{2}$
• C. $-2$
• D. zero

Answer 1

Answer: (D)

Given $f(x)=\cos (\log x)$ $\therefore$ $f(x).f(y)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\right]$ $=\cos (\log x).\cos (\log y)$ $-\frac{1}{2}\left[\cos \log \left(\frac{x}{y}\right)+\cos \log (xy)\right]$ $=\cos (\log x)\cos (\log y)-\frac{1}{2}2[\cos (\log x)$ $\times \cos (\log y)]$ $=\cos (\log x)\cos (\log y)$ $-\cos (\log x)\cos (\log y)$ $=0$ $\therefore$ $f(x).f(y)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\right]=0$