Question

If $\left(1^2-t_1\right)+\left(2^2-t_2\right)+\dots .+\left(n^2-t_n\right)=\frac{n\left(n^2-1\right)}{3}$, then $t_n$ is equal to

• A. $n^2$
• B. $2n$
• C. $n^2-2n$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (D)

$\left(1^2-t_1\right)+\left(2^2-t_2\right)+\dots .+\left(n^2-t_n\right)=\frac{1}{3}n\left(n^2-1\right)$
$\Rightarrow 1^2+2^2+3^2+\dots .+n^2-\left\{t_1+t_2+\dots .+t_n\right\}=\frac{1}{3}n\left(n^2-1\right)$
$\Rightarrow \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-S_n=\frac{1}{3}n\left(n^2-1\right)$
$\Rightarrow S_n=\frac{n(n+1)}{6}[2n+1-2(n-1)]$
$=\frac{n(n+1)}{6}[2n+1-2n+2]$
$=\frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow S_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}$
$\Rightarrow T_n=S_n-S_{n-1}=n$